変形の記述 その2

「４章　変形の記述」の続きです。
今日はひずみの記載について整理です。
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有限ひずみ E、e
dx・dx-dX・dX = (FdX)・(FdX)-dX・dX    = dX・(F^TF-I)dX    = dX・2EdX
dx・dx-dX・dX = dx・dx-(F^-1dx)・(F^-1dx) = dx・(I-(FF^T）^-1)dx = dx・2edx
ラグランジュ - グリーンのひずみ　：　E=1/2(F^TF-I)

オイラー - アルマンジのひずみ　　：　e=1/2(I-(FF^T）^-1)

微小ひずみ(テンソル)ε

微小変形理論を適用・・・講習会では⊿tが微小という定義と言われていました。その結果、①変位uが微小で、現在配置Btは基準配置B0と形がほとんど変わらないので、B0を定義域として扱うことができる。②変位uの勾配(偏導関数)も十分小さいので、2次項は無視できる。

F  =∂x/∂X = ∂(X+u)/∂X = I+∂u/∂X

F^-1=∂X/∂x = ∂(x-u)/∂x = I-∂u/∂x

E≒e≒1/2((∂u/∂x)+(∂u/∂x)^T)=ε

du=(∂u/∂x)dx

変形勾配テンソル：∂u/∂x

工学ひずみ ｛ε｝

コーシー応力テンソルσ、微小ひずみテンソルεの独立成分（各6つ）のみを用い、さらに非対角成分については2倍（γij=2εij　、i≠j）にして数ベクトルとして表現したひずみを工学ひずみという。

｛ε｝=｛ε11 ε22 ε33 γ23 γ13 γ12｝

有限ひずみと微小ひずみの比較
伸び変形が1%程度では、E,eとεの差は最大2.5%程度。等体積せん断変形では、dX2がdx2に伸びてもε22=0で鉛直方向の偏の伸びは評価されない。これは微小変形の仮定ではdx2がdX2と同じ鉛直方向にあるとみており、傾きは区別されないため。剛体回転では同じ理由でε11、ε22共に圧縮ひずみがあるように評価してしまう。